《发现角的互补、互余关系》教学设计与课堂实录及点评
天水市逸夫实验中学 陈建民
一、教学设计
教学目标
1 从两个方面发现角的互补与互余关系
2 建立角的互补、互余关系与x+y=180、 s+t=90这两个数量关系的联系
3 体会代数方法在几何问题中的运用
4 推导性质体会数学推理思想和推理方法
重点 发现角的互补、互余关系
难点 互补、互余的相关性质的推导
教学过程
二、课堂实录
【场景介绍】上课铃尚未响，学生陆续走进教室。荧幕画面：缓慢旋转移动的∠1、∠2、∠3、∠4四个角和180、90、平角、直角等字样，其中∠1与∠2、∠3与∠4分别可拼成平角和直角，并且不时相遇而拼成平角与直角。背景音乐：苏格兰民歌《友谊万岁》。铃响，音乐声渐小，教师走上讲台。
师：同学们，听着这音乐，看到这幅画面，有什么想法吗？
生：很美，图形和文字也有友谊……（笑声）
生：180，个头不小。
生：180°的角是平角，90°的角是直角，它们是有联系的。
生：数字和图形有关系。
生：那四个小角呢？
师：是啊，这四个小角和它们是什么关系呢？今天，我们就专门来说说它们，看下面的画面。
【场景介绍】 多媒体画面：一个平角、一个直角分别被从顶点出发的两条射线分成两个角∠1、∠2和∠3、∠4；射线绕端点旋转（分别在平角和直角内）
师：你会发现什么？
生：射线OM将平角∠AOB分成∠1、∠2两个角，射线DN将直角∠CDN分成∠3、∠4两个角。
生：OM和DN在摆动。
生：∠1与∠2的大小在变化，（众多声音）∠3与∠4的也在变化。
生：但无论它们怎么变，∠1与∠2的和永远是平角，∠3与∠4的和永远是直角。
师：好啊，发现本质的东西了。用数学符号语言描述一下，
生：射线OM将平角∠AOB分成∠1、∠2两个角，射线DN将直角∠CDN分成∠3、∠4两个角。并且∠1+∠2=180°，∠3+∠4=90°。
师：太好啦，大家同意吗？
生：同意。
师：不要停，让我们继续探索，再看（播放多媒体）
【场景介绍】 多媒体画面：射线OM将平角∠AOB分成∠1、∠2两个角，射线DN将直角∠CDN分成∠3、∠4两个角。∠1、∠2、∠3、∠4离开原位置（路径由简到繁）缓慢旋转平移，最后停止在欲合不合的位置。
师：这回有经验了，谁来说说你又发现了什么？
生：无论∠1、∠2的位置如何变化，∠1+∠2=180°，无论∠3、∠4的位置如何变化，∠3+∠4=90°.
师：这样的∠1与∠2，∠3与∠4是不是有特殊的（关系）友谊呢？
生：是。
师：是有特殊数量关系的两个角，那我们就要给它们以特殊的关照了，好，给它们起个名字，叫什么呢？你们不要说了，留给我表现一下吧，我说了算，∠1与∠2叫互为补角，∠3与∠4叫互为余角，(多媒体打出课题)你能用数学符号语言描述一下吗？请各小组讨论，记录人将本组讨论结果写在纸上，交给我。
【场景介绍】教师巡视，与学生个别交谈。收缴记录。
师：大致浏览了同学们的作品，归纳一下，可分为三种情况，我取大家的长处，把每一种都准确化
【场景介绍】 多媒体画面：显示互补互余定义的三种说法。
★如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
★如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角
★ 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角；如果∠3+∠4=90°，那么∠3与∠4互为余角.
师：现在思考以下问题
【场景介绍】 多媒体展现思考题
★ 定义中的“互为”一词如何理解？
生：“互为”就是两个角互为补角。
生：“互为”就是说，如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2，而∠2的补角是∠1.
★互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
生：互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边
【场景介绍】 多媒体课件展现“抢答题”，学生跃跃欲试。
抢答题
★ 若∠1与∠2互补，则∠1+∠2= 180°；
★ 若∠1=180-∠2,则∠1与∠2 互补；
★ 30°的余角是 60° ，补角是 150° ,一个角的度数是 x,则它的余角的度数和补角的度数分别是 90—x和180—x ；
★ 30°角的余角的补角是 120°；（横线上的答案系学生说出后，多媒体显示）
笔答题 一个角是它的补角的3倍，求这个角
【场景介绍】 学生笔答，教师巡视，和学生交谈，发现问题，有些学生好象没有办法。
师：不错，好多同学都知道列方程求这个角。（选出两份作业在“实物展示台”展示。）
【解法一】 设这个角是x度，则它的补角是x/3度
依题意得： x+x/3=180.
解得： x=135. 答：所求得角是135度。
【解法二】 设这个角是x度，则它的补角是（180-x )度 .依题意得
x=3(180-x), 解得 x=135
答：这个角是135度。
【场景介绍】 学生迅速答题，与电脑对答案，并争取展示自己的作业，态度积极，情绪高昂。教师操作电脑，出示观察题，引导学生进一步思考、探索。
如图，O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的平分线。
【场景介绍】 电脑动画完成画图、答案、追问、补图等，教师旁白，
看图回答
1．图中互余的角是 ∠AOD与∠DOC ；
2．图中互补的角是 ∠AOD与∠DOB，∠AOC与∠COB ；
3．图中相等的角是 ∠AOC与∠BOC ；
添加一条射线0E，使得∠DOE是一个直角，再回答下列问题：
【场景介绍】 学生分组，8——9人一组，一人主持，一人记录，主持人负责读题，其他人参与讨论，记录人负责向全班汇报本组讨论情况。答案情况如下面空格内内容（本文不一一记载）。
1． 图中∠DOC的余角有 ∠AOD和∠COE ，
它们是什么关系？ 相等 。（也有回答“还有互余关系的”那是指∠DOC和∠AOD）
2．图中∠AOD的余角有 ∠DOC和∠BOE ，
它们是什么关系？ 相等 。
3．通过上述两小题，你能得到的结论 。
生：我感觉一个角如果有两个余角的话，那么，它们相等。
师：会有两个余角吗？
生：（犹豫地）会吧。
生：不但会，而且会很多，而且它们都相等（说的时候，两手不停的示意在不同的位置摆放同一个角）。
师：大家能根据这个图，把刚才推出的结论用数学符号语言写出推理的过程吗？各组讨论，把结果写在纸上交上来。
【场景介绍】多媒体重磅推出：
同角的余角相等 等角的余角也相等
教师巡视，与生交谈，做必要提示，学生讨论气氛热烈，有争论，焦点是书写中语言和符号语言的成份，有的用符号多一些，有的少一些，但各组基本能说出推理过程的三个步骤，选择一个准确的展示。
因为 ∠AOD+∠DOC=90°
∠COE+∠DOC=90°
所以 ∠AOD=∠COE
因为 ∠AOD+∠DOC=90°
∠COE+∠BOE=90°
而 ∠AOD=∠COE
所以 ∠DOC=∠BOE
师：今天，我们发现了具有特殊数量关系的一对角…对…是两对，互补的角、互余的角，
【场景介绍】 多媒体播放本课开始的画面，所不同的是推出如下字幕：
两个角无论它们“身居何处”，只要它们的和为180°，它们就互为补角，它们的和为90°，它们就互为余角
师：我们还发现“同角的余角相等，等角的余角也相等”，马上要下课了，我们不觉得少点什么？
生：同角的补角是不是也相等呢？
师：对，这就是我们今天的作业，
【场景介绍】 多媒体展示作业及作业要求：
探讨同角或等角的补角是否相等
课后小组合作学习讨论，更换主持人和记录人，主持人和本组同学商量确定时间。
仿照“余角的性质”的方法
将探究学习的结果及推理过程讲给同组的同学，将记录于下节课前交给我。
祝同学们学习愉快。
点评
本课例通过多媒体画面的创意，让生硬、死板的数字和图形活了起来，仿佛是会说话的演员，使学生着眼于对图形与图形之间的数量关系的观察探究，渗透数形结合的数学思想方法。
课例体现了学生的学习是在原有知识上的自我生成过程。引导学生关注知识产生发展的过程，让学生在原有的知识经验上对知识自我建构。整个课堂充满了师生、生生互动的探究气氛，而在“互补”、“互余”概念的定义和叙述上，则保留了传统教学中的直叙讲授，并在学生已有证明“余角性质定理”方法的基础上布置了合作探究性作业：猜测并证明“补角性质定理”，很有特色。
